Լուծեք {l}{y=3x-7}{2x+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 7 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=3$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=-7$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-3x=-7$$

Գումարեք 3x հավասարման երկու կողմին:

$$y=3x-7$$

Փոխարինեք 3x-7-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3y+2x=12:

$$3\left(3x-7\right)+2x=12$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 3x-7:

$$9x-21+2x=12$$

Գումարեք 9x 2x-ին:

$$11x-21=12$$

Գումարեք 21 հավասարման երկու կողմին:

$$11x=33$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$x=3$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով y=3x-7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=3\times 3-7$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 3:

$$y=9-7$$

Գումարեք -7 9-ին:

$$y=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=2,x=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=-7$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-7\right)+\frac{3}{11}\times 12\\-\frac{3}{11}\left(-7\right)+\frac{1}{11}\times 12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=2,x=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=-7$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

y-ը և 3y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$3y+3\left(-3\right)x=3\left(-7\right),3y+2x=12$$

Պարզեցնել:

$$3y-9x=-21,3y+2x=12$$

Հանեք 3y+2x=12 3y-9x=-21-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3y-3y-9x-2x=-21-12$$

Գումարեք 3y -3y-ին: 3y-ը և -3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-9x-2x=-21-12$$

Գումարեք -9x -2x-ին:

$$-11x=-21-12$$

Գումարեք -21 -12-ին:

$$-11x=-33$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$x=3$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով 3y+2x=12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$3y+2\times 3=12$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$3y+6=12$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$3y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=2,x=3$$