Լուծեք {l}{y=2x-4}{y=4x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 4 } \\ { y = 4 x - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-1$$

$$y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-2x=-4,y-4x=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-2x=-4$$

Գումարեք 2x հավասարման երկու կողմին:

$$y=2x-4$$

Փոխարինեք -4+2x-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-4x=-2:

$$2x-4-4x=-2$$

Գումարեք 2x -4x-ին:

$$-2x-4=-2$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-1$$

Փոխարինեք -1-ը x-ով y=2x-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=2\left(-1\right)-4$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$y=-2-4$$

Գումարեք -4 -2-ին:

$$y=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-6,x=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-2x=-4,y-4x=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-2\right)}&\frac{1}{-4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-4\right)-\left(-2\right)\\\frac{1}{2}\left(-4\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-6,x=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-2x=-4,y-4x=-2$$

Հանեք y-4x=-2 y-2x=-4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-2x+4x=-4+2$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2x+4x=-4+2$$

Գումարեք -2x 4x-ին:

$$2x=-4+2$$

Գումարեք -4 2-ին:

$$2x=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-1$$

Փոխարինեք -1-ը x-ով y-4x=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-4\left(-1\right)=-2$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -1:

$$y+4=-2$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$y=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-6,x=-1$$