Լուծեք {l}{y=2x-3}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 3 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=2$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-2x=-3,2y+3x=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-2x=-3$$

Գումարեք 2x հավասարման երկու կողմին:

$$y=2x-3$$

Փոխարինեք 2x-3-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2y+3x=8:

$$2\left(2x-3\right)+3x=8$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2x-3:

$$4x-6+3x=8$$

Գումարեք 4x 3x-ին:

$$7x-6=8$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով y=2x-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=2\times 2-3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$y=4-3$$

Գումարեք -3 4-ին:

$$y=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=1,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-2x=-3,2y+3x=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-3\right)+\frac{2}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\left(-3\right)+\frac{1}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=1,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-2x=-3,2y+3x=8$$

y-ը և 2y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-3\right),2y+3x=8$$

Պարզեցնել:

$$2y-4x=-6,2y+3x=8$$

Հանեք 2y+3x=8 2y-4x=-6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2y-2y-4x-3x=-6-8$$

Գումարեք 2y -2y-ին: 2y-ը և -2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4x-3x=-6-8$$

Գումարեք -4x -3x-ին:

$$-7x=-6-8$$

Գումարեք -6 -8-ին:

$$-7x=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով 2y+3x=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$2y+3\times 2=8$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 2:

$$2y+6=8$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$2y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=1,x=2$$