Լուծեք {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=7$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=13$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+2x=13$$

Հանեք 2x հավասարման երկու կողմից:

$$y=-2x+13$$

Փոխարինեք -2x+13-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 8y+4x=20:

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

Բազմապատկեք 8 անգամ -2x+13:

$$-16x+104+4x=20$$

Գումարեք -16x 4x-ին:

$$-12x+104=20$$

Հանեք 104 հավասարման երկու կողմից:

$$-12x=-84$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$x=7$$

Փոխարինեք 7-ը x-ով y=-2x+13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-2\times 7+13$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 7:

$$y=-14+13$$

Գումարեք 13 -14-ին:

$$y=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-1,x=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=13$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-1,x=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=13$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

y-ը և 8y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 8-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

Պարզեցնել:

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

Հանեք 8y+4x=20 8y+16x=104-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

Գումարեք 8y -8y-ին: 8y-ը և -8y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$16x-4x=104-20$$

Գումարեք 16x -4x-ին:

$$12x=104-20$$

Գումարեք 104 -20-ին:

$$12x=84$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$x=7$$

Փոխարինեք 7-ը x-ով 8y+4x=20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$8y+4\times 7=20$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 7:

$$8y+28=20$$

Հանեք 28 հավասարման երկու կողմից:

$$8y=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$y=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-1,x=7$$