Լուծեք {l}{y=-7/3x+3}{y=-2/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 7 } { 3 } x + 3 } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=3$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել \frac{7}{3}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{2}{3}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Հանեք \frac{7x}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$y=-\frac{7}{3}x+3$$

Փոխարինեք -\frac{7x}{3}+3-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+\frac{2}{3}x=-2:

$$-\frac{7}{3}x+3+\frac{2}{3}x=-2$$

Գումարեք -\frac{7x}{3} \frac{2x}{3}-ին:

$$-\frac{5}{3}x+3=-2$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{3}x=-5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=3$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով y=-\frac{7}{3}x+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{7}{3}\times 3+3$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{3} անգամ 3:

$$y=-7+3$$

Գումարեք 3 -7-ին:

$$y=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-4,x=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել \frac{7}{3}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{2}{3}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 3+\frac{7}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-4,x=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել \frac{7}{3}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{2}{3}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Հանեք y+\frac{2}{3}x=-2 y+\frac{7}{3}x=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y+\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Գումարեք \frac{7x}{3} -\frac{2x}{3}-ին:

$$\frac{5}{3}x=3+2$$

Գումարեք 3 2-ին:

$$\frac{5}{3}x=5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=3$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով y+\frac{2}{3}x=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+\frac{2}{3}\times 3=-2$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ 3:

$$y+2=-2$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$y=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-4,x=3$$