Լուծեք {l}{y=-1/2x+1}{y=1/2x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=4$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել \frac{1}{2}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Հանեք \frac{x}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Փոխարինեք -\frac{x}{2}+1-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-\frac{1}{2}x=-3:

$$-\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}x=-3$$

Գումարեք -\frac{x}{2} -\frac{x}{2}-ին:

$$-x+1=-3$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y=-\frac{1}{2}x+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{1}{2}\times 4+1$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 4:

$$y=-2+1$$

Գումարեք 1 -2-ին:

$$y=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-1,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել \frac{1}{2}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\1-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-1,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել \frac{1}{2}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Հանեք y-\frac{1}{2}x=-3 y+\frac{1}{2}x=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Գումարեք \frac{x}{2} \frac{x}{2}-ին:

$$x=1+3$$

Գումարեք 1 3-ին:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y-\frac{1}{2}x=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-\frac{1}{2}\times 4=-3$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 4:

$$y-2=-3$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$y=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-1,x=4$$