Լուծեք {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{9}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Գումարեք \frac{x}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

Փոխարինեք \frac{x}{3}+6-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-\frac{1}{9}x=-1:

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

Գումարեք \frac{x}{3} -\frac{x}{9}-ին:

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{2}{9}x=-7$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{2}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{63}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{63}{2}-ը x-ով y=\frac{1}{3}x+6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -\frac{63}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

Գումարեք 6 -\frac{21}{2}-ին:

$$y=-\frac{9}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{9}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{9}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Հանեք y-\frac{1}{9}x=-1 y-\frac{1}{3}x=6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Գումարեք -\frac{x}{3} \frac{x}{9}-ին:

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

Գումարեք 6 1-ին:

$$-\frac{2}{9}x=7$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{2}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{63}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{63}{2}-ը x-ով y-\frac{1}{9}x=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{9} անգամ -\frac{63}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

Հանեք \frac{7}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$y=-\frac{9}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$