Լուծեք {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=3$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{4}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Գումարեք \frac{x}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

Փոխարինեք \frac{x}{3}+1-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-\frac{4}{3}x=-2:

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

Գումարեք \frac{x}{3} -\frac{4x}{3}-ին:

$$-x+1=-2$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=3$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով y=\frac{1}{3}x+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 3:

$$y=1+1$$

Գումարեք 1 1-ին:

$$y=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=2,x=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{4}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=2,x=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{4}{3}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Հանեք y-\frac{4}{3}x=-2 y-\frac{1}{3}x=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Գումարեք -\frac{x}{3} \frac{4x}{3}-ին:

$$x=1+2$$

Գումարեք 1 2-ին:

$$x=3$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով y-\frac{4}{3}x=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ 3:

$$y-4=-2$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$y=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=2,x=3$$