Լուծեք {l}{y=1/2x-4}{y=-1/4x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 4 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=4$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{1}{4}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Գումարեք \frac{x}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{1}{2}x-4$$

Փոխարինեք \frac{x}{2}-4-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+\frac{1}{4}x=-1:

$$\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1$$

Գումարեք \frac{x}{2} \frac{x}{4}-ին:

$$\frac{3}{4}x-4=-1$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{3}{4}x=3$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y=\frac{1}{2}x-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{1}{2}\times 4-4$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 4:

$$y=2-4$$

Գումարեք -4 2-ին:

$$y=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-2,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{1}{4}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-2,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{1}{4}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Հանեք y+\frac{1}{4}x=-1 y-\frac{1}{2}x=-4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Գումարեք -\frac{x}{2} -\frac{x}{4}-ին:

$$-\frac{3}{4}x=-4+1$$

Գումարեք -4 1-ին:

$$-\frac{3}{4}x=-3$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y+\frac{1}{4}x=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+\frac{1}{4}\times 4=-1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 4:

$$y+1=-1$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$y=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-2,x=4$$