Լուծեք {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Գումարեք \frac{x}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Փոխարինեք \frac{x}{2}+1-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2y+3x=-2:

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{x}{2}+1:

$$x+2+3x=-2$$

Գումարեք x 3x-ին:

$$4x+2=-2$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-1$$

Փոխարինեք -1-ը x-ով y=\frac{1}{2}x+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -1:

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Գումարեք 1 -\frac{1}{2}-ին:

$$y=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

y-ը և 2y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

Պարզեցնել:

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

Հանեք 2y+3x=-2 2y-x=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

Գումարեք 2y -2y-ին: 2y-ը և -2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-x-3x=2+2$$

Գումարեք -x -3x-ին:

$$-4x=2+2$$

Գումարեք 2 2-ին:

$$-4x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-1$$

Փոխարինեք -1-ը x-ով 2y+3x=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -1:

$$2y-3=-2$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$2y=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$