Լուծեք {l}{y=-1/2x+6}{y=1/4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { - 1 } { 2 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x - 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = \frac{44}{3} = 14\frac{2}{3} \approx 14.666666667$$

$$y = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: \frac{-1}{2} կոտորակը կարող է կրկին գրվել որպես -\frac{1}{2}՝ արտահանելով բացասական նշանը:

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Փոխարինեք -\frac{x}{2}+6-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-\frac{1}{4}x=-5:

$$-\frac{1}{2}x+6-\frac{1}{4}x=-5$$

Գումարեք -\frac{x}{2} -\frac{x}{4}-ին:

$$-\frac{3}{4}x+6=-5$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{3}{4}x=-11$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{44}{3}$$

Փոխարինեք \frac{44}{3}-ը x-ով y=-\frac{1}{2}x+6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{1}{2}\times \frac{44}{3}+6$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ \frac{44}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=-\frac{22}{3}+6$$

Գումարեք 6 -\frac{22}{3}-ին:

$$y=-\frac{4}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: \frac{-1}{2} կոտորակը կարող է կրկին գրվել որպես -\frac{1}{2}՝ արտահանելով բացասական նշանը:

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Հավելել \frac{1}{2}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{4}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{4}{3}\times 6-\frac{4}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\\frac{44}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: \frac{-1}{2} կոտորակը կարող է կրկին գրվել որպես -\frac{1}{2}՝ արտահանելով բացասական նշանը:

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Հավելել \frac{1}{2}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{4}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

Հանեք y-\frac{1}{4}x=-5 y+\frac{1}{2}x=6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

Գումարեք \frac{x}{2} \frac{x}{4}-ին:

$$\frac{3}{4}x=6+5$$

Գումարեք 6 5-ին:

$$\frac{3}{4}x=11$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{44}{3}$$

Փոխարինեք \frac{44}{3}-ը x-ով y-\frac{1}{4}x=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-\frac{1}{4}\times \frac{44}{3}=-5$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} անգամ \frac{44}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y-\frac{11}{3}=-5$$

Գումարեք \frac{11}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$y=-\frac{4}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$