Լուծեք {l}{y+x+3=9}{2y-x-5=15}

$$\left. \begin{array} { l } { y + x + 3 = 9 } \\ { 2 y - x - 5 = 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$y = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3} \approx 8.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+x+3=9$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$y+x=6$$

Հանեք x հավասարման երկու կողմից:

$$y=-x+6$$

Փոխարինեք -x+6-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2y-x-5=15:

$$2\left(-x+6\right)-x-5=15$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -x+6:

$$-2x+12-x-5=15$$

Գումարեք -2x -x-ին:

$$-3x+12-5=15$$

Գումարեք 12 -5-ին:

$$-3x+7=15$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{8}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{8}{3}-ը x-ով y=-x+6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\left(-\frac{8}{3}\right)+6$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{8}{3}:

$$y=\frac{8}{3}+6$$

Գումարեք 6 \frac{8}{3}-ին:

$$y=\frac{26}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{3}\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

y-ը և 2y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2y+2x+2\times 3=2\times 9,2y-x-5=15$$

Պարզեցնել:

$$2y+2x+6=18,2y-x-5=15$$

Հանեք 2y-x-5=15 2y+2x+6=18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2y-2y+2x+x+6+5=18-15$$

Գումարեք 2y -2y-ին: 2y-ը և -2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2x+x+6+5=18-15$$

Գումարեք 2x x-ին:

$$3x+6+5=18-15$$

Գումարեք 6 5-ին:

$$3x+11=18-15$$

Գումարեք 18 -15-ին:

$$3x+11=3$$

Հանեք 11 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{8}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{8}{3}-ը x-ով 2y-x-5=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$2y-\left(-\frac{8}{3}\right)-5=15$$

Գումարեք \frac{8}{3} -5-ին:

$$2y-\frac{7}{3}=15$$

Գումարեք \frac{7}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$2y=\frac{52}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{26}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$