Լուծեք {l}{y+4x-6=0}{3x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+4x-6=0$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$y+4x=6$$

Հանեք 4x հավասարման երկու կողմից:

$$y=-4x+6$$

Փոխարինեք -4x+6-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -y+3x=7:

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -4x+6:

$$4x-6+3x=7$$

Գումարեք 4x 3x-ին:

$$7x-6=7$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{13}{7}$$

Փոխարինեք \frac{13}{7}-ը x-ով y=-4x+6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{13}{7}:

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

Գումարեք 6 -\frac{52}{7}-ին:

$$y=-\frac{10}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

y-ը և -y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

Պարզեցնել:

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

Հանեք -y+3x=7 -y-4x+6=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

Գումարեք -y y-ին: -y-ը և y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4x-3x+6=-7$$

Գումարեք -4x -3x-ին:

$$-7x+6=-7$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-7x=-13$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=\frac{13}{7}$$

Փոխարինեք \frac{13}{7}-ը x-ով -y+3x=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{13}{7}:

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

Հանեք \frac{39}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-y=\frac{10}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-\frac{10}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$