Լուծեք {l}{x-y=3}{x+2y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { x + 2 y = 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=7$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=3,x+2y=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=3$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$x=y+3$$

Փոխարինեք y+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+2y=15:

$$y+3+2y=15$$

Գումարեք y 2y-ին:

$$3y+3=15$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$3y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=4+3$$

Գումարեք 3 4-ին:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-y=3,x+2y=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 15\\-\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=7,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-y=3,x+2y=15$$

Հանեք x+2y=15 x-y=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-x-y-2y=3-15$$

Գումարեք x -x-ին: x-ը և -x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-y-2y=3-15$$

Գումարեք -y -2y-ին:

$$-3y=3-15$$

Գումարեք 3 -15-ին:

$$-3y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x+2y=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+2\times 4=15$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x+8=15$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=4$$