Լուծեք {l}{x-8y=10}{-5x+10y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 8 y = 10 } \\ { - 5 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-6$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-8y=10$$

Գումարեք 8y հավասարման երկու կողմին:

$$x=8y+10$$

Փոխարինեք 8y+10-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x+10y=10:

$$-5\left(8y+10\right)+10y=10$$

Բազմապատկեք -5 անգամ 8y+10:

$$-40y-50+10y=10$$

Գումարեք -40y 10y-ին:

$$-30y-50=10$$

Գումարեք 50 հավասարման երկու կողմին:

$$-30y=60$$

Բաժանեք երկու կողմերը -30-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=8y+10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=8\left(-2\right)+10$$

Բազմապատկեք 8 անգամ -2:

$$x=-16+10$$

Գումարեք 10 -16-ին:

$$x=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-6,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{15}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10-\frac{4}{15}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-6,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-5x-5\left(-8\right)y=-5\times 10,-5x+10y=10$$

Պարզեցնել:

$$-5x+40y=-50,-5x+10y=10$$

Հանեք -5x+10y=10 -5x+40y=-50-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-5x+5x+40y-10y=-50-10$$

Գումարեք -5x 5x-ին: -5x-ը և 5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$40y-10y=-50-10$$

Գումարեք 40y -10y-ին:

$$30y=-50-10$$

Գումարեք -50 -10-ին:

$$30y=-60$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով -5x+10y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x+10\left(-2\right)=10$$

Բազմապատկեք 10 անգամ -2:

$$-5x-20=10$$

Գումարեք 20 հավասարման երկու կողմին:

$$-5x=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-6,y=-2$$