Լուծեք {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=14$$

$$y=46$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 5-ով:

$$5x-30=y-6$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$5x-30-y=-6$$

Հավելել 30-ը երկու կողմերում:

$$5x-y=-6+30$$

Գումարեք -6 և 30 և ստացեք 24:

$$5x-y=24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+18=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x+18-y=0$$

Հանեք 18 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$2x-y=-18$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-y=24$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=y+24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ y+24:

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

Փոխարինեք \frac{24+y}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-y=-18:

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{24+y}{5}:

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

Գումարեք \frac{2y}{5} -y-ին:

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

Հանեք \frac{48}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=46$$

Փոխարինեք 46-ը y-ով x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 46:

$$x=\frac{46+24}{5}$$

Գումարեք \frac{24}{5} \frac{46}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=14$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=14,y=46$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 5-ով:

$$5x-30=y-6$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$5x-30-y=-6$$

Հավելել 30-ը երկու կողմերում:

$$5x-y=-6+30$$

Գումարեք -6 և 30 և ստացեք 24:

$$5x-y=24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+18=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x+18-y=0$$

Հանեք 18 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$2x-y=-18$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=14,y=46$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 5-ով:

$$5x-30=y-6$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$5x-30-y=-6$$

Հավելել 30-ը երկու կողմերում:

$$5x-y=-6+30$$

Գումարեք -6 և 30 և ստացեք 24:

$$5x-y=24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+18=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x+18-y=0$$

Հանեք 18 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$2x-y=-18$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Հանեք 2x-y=-18 5x-y=24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-2x-y+y=24+18$$

Գումարեք -y y-ին: -y-ը և y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5x-2x=24+18$$

Գումարեք 5x -2x-ին:

$$3x=24+18$$

Գումարեք 24 18-ին:

$$3x=42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=14$$

Փոխարինեք 14-ը x-ով 2x-y=-18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$2\times 14-y=-18$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 14:

$$28-y=-18$$

Հանեք 28 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-46$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=46$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=14,y=46$$