Լուծեք {l}{x-4y=-8}{x-2y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = - 8 } \\ { x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-4y=-8$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$x=4y-8$$

Փոխարինեք -8+4y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-2y=-2:

$$4y-8-2y=-2$$

Գումարեք 4y -2y-ին:

$$2y-8=-2$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$2y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=4y-8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=4\times 3-8$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 3:

$$x=12-8$$

Գումարեք -8 12-ին:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-8\right)+2\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Հանեք x-2y=-2 x-4y=-8-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-x-4y+2y=-8+2$$

Գումարեք x -x-ին: x-ը և -x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y+2y=-8+2$$

Գումարեք -4y 2y-ին:

$$-2y=-8+2$$

Գումարեք -8 2-ին:

$$-2y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x-2y=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-2\times 3=-2$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 3:

$$x-6=-2$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=3$$