Լուծեք {l}{x^2+y^2=R^2}{y=mx}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 } } \\ { y = m x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=-\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

$$x=\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք mx երկու կողմերից:

$$y-mx=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+\left(-m\right)x=0,x^{2}+y^{2}=R^{2}$$

Լուծեք y+\left(-m\right)x=0-ը y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+\left(-m\right)x=0$$

Հանեք \left(-m\right)x հավասարման երկու կողմից:

$$y=mx$$

Փոխարինեք mx-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x^{2}+y^{2}=R^{2}:

$$x^{2}+\left(mx\right)^{2}=R^{2}$$

mx-ի քառակուսի:

$$x^{2}+m^{2}x^{2}=R^{2}$$

Գումարեք x^{2} m^{2}x^{2}-ին:

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}=R^{2}$$

Հանեք R^{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}-R^{2}=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1+1m^{2}-ը a-ով, 1\times 0\times 2m-ը b-ով և -R^{2}-ը c-ով:

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

1\times 0\times 2m-ի քառակուսի:

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 1+1m^{2}:

$$x=\frac{0±\sqrt{\left(-4m^{2}-4\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

Բազմապատկեք -4-4m^{2} անգամ -R^{2}:

$$x=\frac{0±\sqrt{4R^{2}\left(m^{2}+1\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

Հանեք 4\left(1+m^{2}\right)R^{2}-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 1+1m^{2}:

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է:

$$x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Այժմ լուծել x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է:

$$x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Երկու լուծման եղանակ կա x-ի համար՝ \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} և -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}: Փոխարինեք \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}-ը x-ով y=mx հավասրաման մեջ և գտեք y-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$y=m\times \frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Բազմապատկեք m անգամ \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}:

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m$$

Այժմ փոխարինեք -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}-ը x-ով y=mx հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով y-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$y=m\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)$$

Բազմապատկեք m անգամ -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}:

$$y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m,x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{ or }y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m,x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{; }x=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{, }&m\neq -i\text{ and }m\neq i\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=mx\text{, }&\left(m=i\text{ or }m=-i\right)\text{ and }R=0\end{matrix}\right.$$