Լուծեք {l}{x^2+y^2=9}{x+y=a}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Լուծեք x+y=a-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=a$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+a$$

Փոխարինեք -y+a-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y^{2}+x^{2}=9:

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

-y+a-ի քառակուսի:

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Գումարեք y^{2} y^{2}-ին:

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1+1\left(-1\right)^{2}-ը a-ով, 1\left(-1\right)\times 2a-ը b-ով և -9+a^{2}-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

1\left(-1\right)\times 2a-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -9+a^{2}:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Գումարեք 4a^{2} 72-8a^{2}-ին:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Հանեք 72-4a^{2}-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Այժմ լուծել y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 2a 2\sqrt{18-a^{2}}-ին:

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Բաժանեք 2a+2\sqrt{18-a^{2}}-ը 4-ի վրա:

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Այժմ լուծել y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{18-a^{2}} 2a-ից:

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Բաժանեք 2a-2\sqrt{18-a^{2}}-ը 4-ի վրա:

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} և \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}: Փոխարինեք \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ը y-ով x=-y+a հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Այժմ փոխարինեք \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ը y-ով x=-y+a հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

Լուծեք x+y=a-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=a$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+a$$

Փոխարինեք -y+a-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y^{2}+x^{2}=9:

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

-y+a-ի քառակուսի:

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Գումարեք y^{2} y^{2}-ին:

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1+1\left(-1\right)^{2}-ը a-ով, 1\left(-1\right)\times 2a-ը b-ով և -9+a^{2}-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

1\left(-1\right)\times 2a-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -9+a^{2}:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Գումարեք 4a^{2} 72-8a^{2}-ին:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Հանեք 72-4a^{2}-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Այժմ լուծել y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 2a 2\sqrt{18-a^{2}}-ին:

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Բաժանեք 2a+2\sqrt{18-a^{2}}-ը 4-ի վրա:

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Այժմ լուծել y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{18-a^{2}} 2a-ից:

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Բաժանեք 2a-2\sqrt{18-a^{2}}-ը 4-ի վրա:

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} և \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}: Փոխարինեք \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ը y-ով x=-y+a հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Այժմ փոխարինեք \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ը y-ով x=-y+a հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$