Լուծեք {l}{x^2+y^2=9}{x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx 2.870828693\text{, }y=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx -0.870828693$$

$$x=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx -0.870828693\text{, }y=\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx 2.870828693$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=2,y^{2}+x^{2}=9$$

Լուծեք x+y=2-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=2$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+2$$

Փոխարինեք -y+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y^{2}+x^{2}=9:

$$y^{2}+\left(-y+2\right)^{2}=9$$

-y+2-ի քառակուսի:

$$y^{2}+y^{2}-4y+4=9$$

Գումարեք y^{2} y^{2}-ին:

$$2y^{2}-4y+4=9$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$2y^{2}-4y-5=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1+1\left(-1\right)^{2}-ը a-ով, 1\times 2\left(-1\right)\times 2-ը b-ով և -5-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

1\times 2\left(-1\right)\times 2-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -5:

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+40}}{2\times 2}$$

Գումարեք 16 40-ին:

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{56}}{2\times 2}$$

Հանեք 56-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{14}}{2\times 2}$$

1\times 2\left(-1\right)\times 2 թվի հակադրությունը 4 է:

$$y=\frac{4±2\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{4±2\sqrt{14}}{4}$$

Այժմ լուծել y=\frac{4±2\sqrt{14}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 4 2\sqrt{14}-ին:

$$y=\frac{2\sqrt{14}+4}{4}$$

Բաժանեք 4+2\sqrt{14}-ը 4-ի վրա:

$$y=\frac{\sqrt{14}}{2}+1$$

Այժմ լուծել y=\frac{4±2\sqrt{14}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{14} 4-ից:

$$y=\frac{4-2\sqrt{14}}{4}$$

Բաժանեք 4-2\sqrt{14}-ը 4-ի վրա:

$$y=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ 1+\frac{\sqrt{14}}{2} և 1-\frac{\sqrt{14}}{2}: Փոխարինեք 1+\frac{\sqrt{14}}{2}-ը y-ով x=-y+2 հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2$$

Այժմ փոխարինեք 1-\frac{\sqrt{14}}{2}-ը y-ով x=-y+2 հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2,y=\frac{\sqrt{14}}{2}+1\text{ or }x=-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2,y=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1$$