Լուծեք {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

Լուծեք x+y=1-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=1$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+1$$

Փոխարինեք -y+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y^{2}+x^{2}=4:

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

-y+1-ի քառակուսի:

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Գումարեք y^{2} y^{2}-ին:

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1+1\left(-1\right)^{2}-ը a-ով, 1\times 1\left(-1\right)\times 2-ը b-ով և -3-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

1\times 1\left(-1\right)\times 2-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -3:

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Գումարեք 4 24-ին:

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Հանեք 28-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

1\times 1\left(-1\right)\times 2 թվի հակադրությունը 2 է:

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Այժմ լուծել y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 2 2\sqrt{7}-ին:

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Բաժանեք 2+2\sqrt{7}-ը 4-ի վրա:

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Այժմ լուծել y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{7} 2-ից:

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Բաժանեք 2-2\sqrt{7}-ը 4-ի վրա:

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ \frac{1+\sqrt{7}}{2} և \frac{1-\sqrt{7}}{2}: Փոխարինեք \frac{1+\sqrt{7}}{2}-ը y-ով x=-y+1 հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Այժմ փոխարինեք \frac{1-\sqrt{7}}{2}-ը y-ով x=-y+1 հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$