Լուծեք {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=500$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+500$$

Փոխարինեք -y+500-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 25x+35y=1450:

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

Բազմապատկեք 25 անգամ -y+500:

$$-25y+12500+35y=1450$$

Գումարեք -25y 35y-ին:

$$10y+12500=1450$$

Հանեք 12500 հավասարման երկու կողմից:

$$10y=-11050$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=-1105$$

Փոխարինեք -1105-ը y-ով x=-y+500-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -1105:

$$x=1105+500$$

Գումարեք 500 1105-ին:

$$x=1605$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1605,y=-1105$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1605,y=-1105$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

x-ը և 25x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 25-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Պարզեցնել:

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

Հանեք 25x+35y=1450 25x+25y=12500-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

Գումարեք 25x -25x-ին: 25x-ը և -25x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$25y-35y=12500-1450$$

Գումարեք 25y -35y-ին:

$$-10y=12500-1450$$

Գումարեք 12500 -1450-ին:

$$-10y=11050$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$y=-1105$$

Փոխարինեք -1105-ը y-ով 25x+35y=1450-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

Բազմապատկեք 35 անգամ -1105:

$$25x-38675=1450$$

Գումարեք 38675 հավասարման երկու կողմին:

$$25x=40125$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$x=1605$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1605,y=-1105$$