Լուծեք {l}{x+y=2}{x+1/2=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Հանեք \frac{1}{2} երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=2$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+2$$

Փոխարինեք -y+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=-\frac{1}{2}:

$$-y+2-y=-\frac{1}{2}$$

Գումարեք -y -y-ին:

$$-2y+2=-\frac{1}{2}$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=-\frac{5}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք \frac{5}{4}-ը y-ով x=-y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{4}+2$$

Գումարեք 2 -\frac{5}{4}-ին:

$$x=\frac{3}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Հանեք \frac{1}{2} երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Հանեք \frac{1}{2} երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Հանեք x-y=-\frac{1}{2} x+y=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-x+y+y=2+\frac{1}{2}$$

Գումարեք x -x-ին: x-ը և -x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y+y=2+\frac{1}{2}$$

Գումարեք y y-ին:

$$2y=2+\frac{1}{2}$$

Գումարեք 2 \frac{1}{2}-ին:

$$2y=\frac{5}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք \frac{5}{4}-ը y-ով x-y=-\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{3}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$