Լուծեք {l}{x+y=107}{4x+2y=284}hline0k

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 107 } \\ { 4 x + 2 y = 284 } \\ \hline 0 k \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=35$$

$$y=72$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=107,4x+2y=284$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=107$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+107$$

Փոխարինեք -y+107-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+2y=284:

$$4\left(-y+107\right)+2y=284$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -y+107:

$$-4y+428+2y=284$$

Գումարեք -4y 2y-ին:

$$-2y+428=284$$

Հանեք 428 հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=-144$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=72$$

Փոխարինեք 72-ը y-ով x=-y+107-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-72+107$$

Գումարեք 107 -72-ին:

$$x=35$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=35,y=72$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=107,4x+2y=284$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-107+\frac{1}{2}\times 284\\2\times 107-\frac{1}{2}\times 284\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\72\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=35,y=72$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=107,4x+2y=284$$

x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$4x+4y=4\times 107,4x+2y=284$$

Պարզեցնել:

$$4x+4y=428,4x+2y=284$$

Հանեք 4x+2y=284 4x+4y=428-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x+4y-2y=428-284$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y-2y=428-284$$

Գումարեք 4y -2y-ին:

$$2y=428-284$$

Գումարեք 428 -284-ին:

$$2y=144$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=72$$

Փոխարինեք 72-ը y-ով 4x+2y=284-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+2\times 72=284$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 72:

$$4x+144=284$$

Հանեք 144 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=140$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=35$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=35,y=72$$