Լուծեք {l}{x+5=3y}{y-2=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 = 3 y } \\ { y - 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x+5-3y=0$$

Հանեք 5 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-3y=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2-2x=0$$

Հավելել 2-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$y-2x=2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-3y=-5$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$x=3y-5$$

Փոխարինեք 3y-5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+y=2:

$$-2\left(3y-5\right)+y=2$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 3y-5:

$$-6y+10+y=2$$

Գումարեք -6y y-ին:

$$-5y+10=2$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-5y=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=\frac{8}{5}$$

Փոխարինեք \frac{8}{5}-ը y-ով x=3y-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=3\times \frac{8}{5}-5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{8}{5}:

$$x=\frac{24}{5}-5$$

Գումարեք -5 \frac{24}{5}-ին:

$$x=-\frac{1}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x+5-3y=0$$

Հանեք 5 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-3y=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2-2x=0$$

Հավելել 2-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$y-2x=2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x+5-3y=0$$

Հանեք 5 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-3y=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2-2x=0$$

Հավելել 2-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$y-2x=2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-5\right),-2x+y=2$$

Պարզեցնել:

$$-2x+6y=10,-2x+y=2$$

Հանեք -2x+y=2 -2x+6y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x+6y-y=10-2$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y-y=10-2$$

Գումարեք 6y -y-ին:

$$5y=10-2$$

Գումարեք 10 -2-ին:

$$5y=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=\frac{8}{5}$$

Փոխարինեք \frac{8}{5}-ը y-ով -2x+y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+\frac{8}{5}=2$$

Հանեք \frac{8}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=\frac{2}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$