Լուծեք {l}{x+3y=14}{y=-4x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 14 } \\ { y = - 4 x + 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$y+4x=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+3y=14$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-3y+14$$

Փոխարինեք -3y+14-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+y=1:

$$4\left(-3y+14\right)+y=1$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -3y+14:

$$-12y+56+y=1$$

Գումարեք -12y y-ին:

$$-11y+56=1$$

Հանեք 56 հավասարման երկու կողմից:

$$-11y=-55$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=-3y+14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\times 5+14$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 5:

$$x=-15+14$$

Գումարեք 14 -15-ին:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$y+4x=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 14+\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}\times 14-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$y+4x=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+3y=14,4x+y=1$$

x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x+y=1$$

Պարզեցնել:

$$4x+12y=56,4x+y=1$$

Հանեք 4x+y=1 4x+12y=56-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x+12y-y=56-1$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y-y=56-1$$

Գումարեք 12y -y-ին:

$$11y=56-1$$

Գումարեք 56 -1-ին:

$$11y=55$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով 4x+y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+5=1$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=5$$