Լուծեք {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+2y=10$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-2y+10$$

Փոխարինեք -2y+10-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+3y=5:

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -2y+10:

$$4y-20+3y=5$$

Գումարեք 4y 3y-ին:

$$7y-20=5$$

Գումարեք 20 հավասարման երկու կողմին:

$$7y=25$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=\frac{25}{7}$$

Փոխարինեք \frac{25}{7}-ը y-ով x=-2y+10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{25}{7}:

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

Գումարեք 10 -\frac{50}{7}-ին:

$$x=\frac{20}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

Պարզեցնել:

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

Հանեք -2x+3y=5 -2x-4y=-20-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y-3y=-20-5$$

Գումարեք -4y -3y-ին:

$$-7y=-20-5$$

Գումարեք -20 -5-ին:

$$-7y=-25$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=\frac{25}{7}$$

Փոխարինեք \frac{25}{7}-ը y-ով -2x+3y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{25}{7}:

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

Հանեք \frac{75}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=\frac{20}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$