Լուծեք {l}{x+2y=1}{-2x+y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - 2 x + y = - 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+2y=1$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-2y+1$$

Փոխարինեք -2y+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+y=-4:

$$-2\left(-2y+1\right)+y=-4$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -2y+1:

$$4y-2+y=-4$$

Գումարեք 4y y-ին:

$$5y-2=-4$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$5y=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-\frac{2}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{2}{5}-ը y-ով x=-2y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\left(-\frac{2}{5}\right)+1$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{2}{5}:

$$x=\frac{4}{5}+1$$

Գումարեք 1 \frac{4}{5}-ին:

$$x=\frac{9}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-2x-2\times 2y=-2,-2x+y=-4$$

Պարզեցնել:

$$-2x-4y=-2,-2x+y=-4$$

Հանեք -2x+y=-4 -2x-4y=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-4y-y=-2+4$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y-y=-2+4$$

Գումարեք -4y -y-ին:

$$-5y=-2+4$$

Գումարեք -2 4-ին:

$$-5y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=-\frac{2}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{2}{5}-ը y-ով -2x+y=-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-\frac{2}{5}=-4$$

Գումարեք \frac{2}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=-\frac{18}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=\frac{9}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$