Լուծեք {l}{t+2y=5}{2t-y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 y = 5 } \\ { 2 t - y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել t, y-ի համար

$$y=2$$

$$t=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$t+2y=5,2t-y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն t-ի համար՝ առանձնացնելով t-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$t+2y=5$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$t=-2y+5$$

Փոխարինեք -2y+5-ը t-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2t-y=0:

$$2\left(-2y+5\right)-y=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -2y+5:

$$-4y+10-y=0$$

Գումարեք -4y -y-ին:

$$-5y+10=0$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-5y=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով t=-2y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես t-ի համար:

$$t=-2\times 2+5$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 2:

$$t=-4+5$$

Գումարեք 5 -4-ին:

$$t=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$t=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$t+2y=5,2t-y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}t\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}t\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 2}&-\frac{2}{-1-2\times 2}\\-\frac{2}{-1-2\times 2}&\frac{1}{-1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}t\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}t\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}t\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի t և y տարրերը:

$$t=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$t+2y=5,2t-y=0$$

t-ը և 2t-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2t+2\times 2y=2\times 5,2t-y=0$$

Պարզեցնել:

$$2t+4y=10,2t-y=0$$

Հանեք 2t-y=0 2t+4y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2t-2t+4y+y=10$$

Գումարեք 2t -2t-ին: 2t-ը և -2t-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y+y=10$$

Գումարեք 4y y-ին:

$$5y=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 2t-y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես t-ի համար:

$$2t-2=0$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$2t=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$t=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$t=1,y=2$$