Լուծեք {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

Լուծել p, q-ի համար

$$p=-2$$

$$q=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն p-ի համար՝ առանձնացնելով p-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$p+2q=4$$

Հանեք 2q հավասարման երկու կողմից:

$$p=-2q+4$$

Փոխարինեք -2q+4-ը p-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3p+4q=18:

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -2q+4:

$$6q-12+4q=18$$

Գումարեք 6q 4q-ին:

$$10q-12=18$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$10q=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$q=3$$

Փոխարինեք 3-ը q-ով p=-2q+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$p=-2\times 3+4$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 3:

$$p=-6+4$$

Գումարեք 4 -6-ին:

$$p=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=-2,q=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի p և q տարրերը:

$$p=-2,q=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

p-ը և -3p-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

Պարզեցնել:

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

Հանեք -3p+4q=18 -3p-6q=-12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

Գումարեք -3p 3p-ին: -3p-ը և 3p-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6q-4q=-12-18$$

Գումարեք -6q -4q-ին:

$$-10q=-12-18$$

Գումարեք -12 -18-ին:

$$-10q=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$q=3$$

Փոխարինեք 3-ը q-ով -3p+4q=18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$-3p+4\times 3=18$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 3:

$$-3p+12=18$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$-3p=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$p=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=-2,q=3$$