Լուծեք {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$mx-y+1-3m=0$$

Հանեք -3m+1 հավասարման երկու կողմից:

$$mx-y=3m-1$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$mx=y+3m-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը m-ի:

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{m} անգամ y+3m-1:

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Փոխարինեք \frac{y-1+3m}{m}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+my-3m-1=0:

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

Գումարեք \frac{y}{m} my-ին:

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

Գումարեք 3-\frac{1}{m} -3m-1-ին:

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Հանեք 2-\frac{1}{m}-3m հավասարման երկու կողմից:

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Բաժանեք երկու կողմերը m+\frac{1}{m}-ի:

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Փոխարինեք \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}-ը y-ով x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{m} անգամ \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}:

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

Գումարեք 3-\frac{1}{m} \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}-ին:

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ m-ով:

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Պարզեցնել:

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Հանեք mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 mx-y+1-3m=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Գումարեք mx -mx-ին: mx-ը և -mx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Գումարեք -y -m^{2}y-ին:

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Գումարեք -3m+1 m\left(3m+1\right)-ին:

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Հանեք -2m+1+3m^{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-m^{2}-ի:

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

Փոխարինեք -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}-ը y-ով x+my-3m-1=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

Բազմապատկեք m անգամ -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}:

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

Գումարեք -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} -3m-1-ին:

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

Գումարեք \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$