Լուծեք {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Գումարեք ny հավասարման երկու կողմին:

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը m-ի:

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{m} անգամ ny+m^{2}+n^{2}:

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Փոխարինեք \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=2m:

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Գումարեք \frac{ny}{m} y-ին:

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Հանեք m+\frac{n^{2}}{m} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Բաժանեք երկու կողմերը \frac{m+n}{m}-ի:

$$y=m-n$$

Փոխարինեք m-n-ը y-ով x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Բազմապատկեք \frac{n}{m} անգամ m-n:

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Գումարեք m+\frac{n^{2}}{m} \frac{n\left(m-n\right)}{m}-ին:

$$x=m+n$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=m+n,y=m-n$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=m+n,y=m-n$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ m-ով:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Պարզեցնել:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Հանեք mx+my=2m^{2} mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Գումարեք mx -mx-ին: mx-ը և -mx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Գումարեք -ny -my-ին:

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Գումարեք m^{2}+n^{2} -2m^{2}-ին:

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը -m-n-ի:

$$y=m-n$$

Փոխարինեք m-n-ը y-ով x+y=2m-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+m-n=2m$$

Հանեք m-n հավասարման երկու կողմից:

$$x=m+n$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=m+n,y=m-n$$

Լուծել x, y-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Գումարեք ny հավասարման երկու կողմին:

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը m-ի:

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{m} անգամ ny+m^{2}+n^{2}:

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Փոխարինեք \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=2m:

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Գումարեք \frac{ny}{m} y-ին:

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Հանեք m+\frac{n^{2}}{m} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Բաժանեք երկու կողմերը \frac{m+n}{m}-ի:

$$y=m-n$$

Փոխարինեք m-n-ը y-ով x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Բազմապատկեք \frac{n}{m} անգամ m-n:

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Գումարեք m+\frac{n^{2}}{m} \frac{n\left(m-n\right)}{m}-ին:

$$x=m+n$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=m+n,y=m-n$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=m+n,y=m-n$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ m-ով:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Պարզեցնել:

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Հանեք mx+my=2m^{2} mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Գումարեք mx -mx-ին: mx-ը և -mx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Գումարեք -ny -my-ին:

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Գումարեք m^{2}+n^{2} -2m^{2}-ին:

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը -m-n-ի:

$$y=m-n$$

Փոխարինեք m-n-ը y-ով x+y=2m-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+m-n=2m$$

Հանեք m-n հավասարման երկու կողմից:

$$x=m+n$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=m+n,y=m-n$$