Լուծեք {l}{m+n=1}{2n-3m=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 1 } \\ { 2 n - 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m=\frac{4}{5}=0.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$m+n=1$$

Հանեք n հավասարման երկու կողմից:

$$m=-n+1$$

Փոխարինեք -n+1-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3m+2n=-2:

$$-3\left(-n+1\right)+2n=-2$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -n+1:

$$3n-3+2n=-2$$

Գումարեք 3n 2n-ին:

$$5n-3=-2$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$5n=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$n=\frac{1}{5}$$

Փոխարինեք \frac{1}{5}-ը n-ով m=-n+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=-\frac{1}{5}+1$$

Գումարեք 1 -\frac{1}{5}-ին:

$$m=\frac{4}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

m-ը և -3m-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-3m-3n=-3,-3m+2n=-2$$

Հանեք -3m+2n=-2 -3m-3n=-3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3m+3m-3n-2n=-3+2$$

Գումարեք -3m 3m-ին: -3m-ը և 3m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3n-2n=-3+2$$

Գումարեք -3n -2n-ին:

$$-5n=-3+2$$

Գումարեք -3 2-ին:

$$-5n=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$n=\frac{1}{5}$$

Փոխարինեք \frac{1}{5}-ը n-ով -3m+2n=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$-3m+2\times \frac{1}{5}=-2$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{1}{5}:

$$-3m+\frac{2}{5}=-2$$

Հանեք \frac{2}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$-3m=-\frac{12}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$m=\frac{4}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$