Լուծեք {l}{m+2n=5}{n-2m+2=7}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m=-1$$

$$n=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$m+2n=5$$

Հանեք 2n հավասարման երկու կողմից:

$$m=-2n+5$$

Փոխարինեք -2n+5-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2m+n+2=7:

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -2n+5:

$$4n-10+n+2=7$$

Գումարեք 4n n-ին:

$$5n-10+2=7$$

Գումարեք -10 2-ին:

$$5n-8=7$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$5n=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$n=3$$

Փոխարինեք 3-ը n-ով m=-2n+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=-2\times 3+5$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 3:

$$m=-6+5$$

Գումարեք 5 -6-ին:

$$m=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=-1,n=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=-1,n=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

m-ը և -2m-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

Պարզեցնել:

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

Հանեք -2m+n+2=7 -2m-4n=-10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

Գումարեք -2m 2m-ին: -2m-ը և 2m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4n-n-2=-10-7$$

Գումարեք -4n -n-ին:

$$-5n-2=-10-7$$

Գումարեք -10 -7-ին:

$$-5n-2=-17$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$-5n=-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$n=3$$

Փոխարինեք 3-ը n-ով -2m+n+2=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$-2m+3+2=7$$

Գումարեք 3 2-ին:

$$-2m+5=7$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-2m=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$m=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=-1,n=3$$