Լուծեք {l}{k+ym=mg+x}{y=mx-ma}

$$\left. \begin{array} { l } { k + y m = m g + x } \\ { y = m x - m a } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}\text{, }y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}\text{, }&m\neq 1\text{ and }m\neq -1\\x=my-gm+k\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(k=a-g\text{ and }m=-1\right)\text{ or }\left(k=a+g\text{ and }m=1\right)\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$k+ym-x=mg$$

Հանեք k երկու կողմերից:

$$ym-x=mg-k$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք mx երկու կողմերից:

$$y-mx=-ma$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$my-x=gm-k$$

Գումարեք x հավասարման երկու կողմին:

$$my=x+gm-k$$

Բաժանեք երկու կողմերը m-ի:

$$y=\frac{1}{m}\left(x+gm-k\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{m} անգամ x+mg-k:

$$y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}$$

Փոխարինեք \frac{x-k+mg}{m}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+\left(-m\right)x=-am:

$$\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}+\left(-m\right)x=-am$$

Գումարեք \frac{x}{m} -mx-ին:

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x+g-\frac{k}{m}=-am$$

Հանեք g-\frac{k}{m} հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x=-am-g+\frac{k}{m}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -m+\frac{1}{m}-ի:

$$x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

Փոխարինեք \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}}-ը x-ով y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{1}{m}\times \frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}+g-\frac{k}{m}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{m} անգամ \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}}:

$$y=\frac{k-gm-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}+g-\frac{k}{m}$$

Գումարեք g-\frac{k}{m} \frac{k-mg-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}-ին:

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}},x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$k+ym-x=mg$$

Հանեք k երկու կողմերից:

$$ym-x=mg-k$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք mx երկու կողմերից:

$$y-mx=-ma$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{1-m^{2}}&\frac{1}{1-m^{2}}\\-\frac{1}{1-m^{2}}&\frac{m}{1-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{1}{1-m^{2}}\left(-am\right)\\\left(-\frac{1}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{m}{1-m^{2}}\left(-am\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}\\\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$k+ym-x=mg$$

Հանեք k երկու կողմերից:

$$ym-x=mg-k$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք mx երկու կողմերից:

$$y-mx=-ma$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

my-ը և y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ m-ով:

$$my-x=gm-k,my+m\left(-m\right)x=m\left(-am\right)$$

Պարզեցնել:

$$my-x=gm-k,my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2}$$

Հանեք my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2} my-x=gm-k-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$my+\left(-m\right)y-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Գումարեք my -my-ին: my-ը և -my-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Գումարեք -x m^{2}x-ին:

$$\left(m^{2}-1\right)x=gm-k+am^{2}$$

Գումարեք mg-k am^{2}-ին:

$$\left(m^{2}-1\right)x=am^{2}+gm-k$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1+m^{2}-ի:

$$x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Փոխարինեք \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1}-ը x-ով y+\left(-m\right)x=-am-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+\left(-m\right)\times \frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}=-am$$

Բազմապատկեք -m անգամ \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1}:

$$y-\frac{m\left(am^{2}+gm-k\right)}{m^{2}-1}=-am$$

Գումարեք \frac{m\left(mg-k+am^{2}\right)}{m^{2}-1} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}\text{, }y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}\text{, }&|m|\neq 1\\x=my-gm+k\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(k=a-g\text{ and }m=-1\right)\text{ or }\left(k=a+g\text{ and }m=1\right)\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$k+ym-x=mg$$

Հանեք k երկու կողմերից:

$$ym-x=mg-k$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք mx երկու կողմերից:

$$y-mx=-ma$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$my-x=gm-k$$

Գումարեք x հավասարման երկու կողմին:

$$my=x+gm-k$$

Բաժանեք երկու կողմերը m-ի:

$$y=\frac{1}{m}\left(x+gm-k\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{m} անգամ x+mg-k:

$$y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}$$

Փոխարինեք \frac{x-k+mg}{m}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+\left(-m\right)x=-am:

$$\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}+\left(-m\right)x=-am$$

Գումարեք \frac{x}{m} -mx-ին:

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x+g-\frac{k}{m}=-am$$

Հանեք g-\frac{k}{m} հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x=-am-g+\frac{k}{m}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -m+\frac{1}{m}-ի:

$$x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

Փոխարինեք \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}}-ը x-ով y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{1}{m}\times \frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}+g-\frac{k}{m}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{m} անգամ \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}}:

$$y=\frac{k-gm-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}+g-\frac{k}{m}$$

Գումարեք g-\frac{k}{m} \frac{k-mg-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}-ին:

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}},x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$k+ym-x=mg$$

Հանեք k երկու կողմերից:

$$ym-x=mg-k$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք mx երկու կողմերից:

$$y-mx=-ma$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{1-m^{2}}&\frac{1}{1-m^{2}}\\-\frac{1}{1-m^{2}}&\frac{m}{1-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{1}{1-m^{2}}\left(-am\right)\\\left(-\frac{1}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{m}{1-m^{2}}\left(-am\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}\\\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$k+ym-x=mg$$

Հանեք k երկու կողմերից:

$$ym-x=mg-k$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք mx երկու կողմերից:

$$y-mx=-ma$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

my-ը և y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ m-ով:

$$my-x=gm-k,my+m\left(-m\right)x=m\left(-am\right)$$

Պարզեցնել:

$$my-x=gm-k,my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2}$$

Հանեք my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2} my-x=gm-k-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$my+\left(-m\right)y-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Գումարեք my -my-ին: my-ը և -my-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Գումարեք -x m^{2}x-ին:

$$\left(m^{2}-1\right)x=gm-k+am^{2}$$

Գումարեք mg-k am^{2}-ին:

$$\left(m^{2}-1\right)x=am^{2}+gm-k$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1+m^{2}-ի:

$$x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Փոխարինեք \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1}-ը x-ով y+\left(-m\right)x=-am-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+\left(-m\right)\times \frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}=-am$$

Բազմապատկեք -m անգամ \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1}:

$$y-\frac{m\left(am^{2}+gm-k\right)}{m^{2}-1}=-am$$

Գումարեք \frac{m\left(mg-k+am^{2}\right)}{m^{2}-1} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$