Լուծեք {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$fx-y=7$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$fy-9x=8$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$fx-y=7$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$fx=y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը f-ի:

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{f} անգամ y+7:

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Փոխարինեք \frac{7+y}{f}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -9x+fy=8:

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Բազմապատկեք -9 անգամ \frac{7+y}{f}:

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Գումարեք -\frac{9y}{f} fy-ին:

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Գումարեք \frac{63}{f} հավասարման երկու կողմին:

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Բաժանեք երկու կողմերը f-\frac{9}{f}-ի:

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Փոխարինեք \frac{63+8f}{f^{2}-9}-ը y-ով x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{f} անգամ \frac{63+8f}{f^{2}-9}:

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Գումարեք \frac{7}{f} \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}-ին:

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$fx-y=7$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$fy-9x=8$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$fx-y=7$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$fy-9x=8$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx-ը և -9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ f-ով:

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Պարզեցնել:

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Հանեք \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f \left(-9f\right)x+9y=-63-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Գումարեք -9fx 9fx-ին: -9fx-ը և 9fx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Գումարեք 9y -f^{2}y-ին:

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Գումարեք -63 -8f-ին:

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Բաժանեք երկու կողմերը -f^{2}+9-ի:

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Փոխարինեք -\frac{63+8f}{9-f^{2}}-ը y-ով -9x+fy=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Բազմապատկեք f անգամ -\frac{63+8f}{9-f^{2}}:

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Գումարեք \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} հավասարման երկու կողմին:

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$fx-y=7$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$fy-9x=8$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$fx-y=7$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$fx=y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը f-ի:

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{f} անգամ y+7:

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Փոխարինեք \frac{7+y}{f}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -9x+fy=8:

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Բազմապատկեք -9 անգամ \frac{7+y}{f}:

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Գումարեք -\frac{9y}{f} fy-ին:

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Գումարեք \frac{63}{f} հավասարման երկու կողմին:

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Բաժանեք երկու կողմերը f-\frac{9}{f}-ի:

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Փոխարինեք \frac{63+8f}{f^{2}-9}-ը y-ով x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{f} անգամ \frac{63+8f}{f^{2}-9}:

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Գումարեք \frac{7}{f} \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}-ին:

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$fx-y=7$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$fy-9x=8$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$fx-y=7$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$fy-9x=8$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx-ը և -9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ f-ով:

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Պարզեցնել:

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Հանեք \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f \left(-9f\right)x+9y=-63-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Գումարեք -9fx 9fx-ին: -9fx-ը և 9fx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Գումարեք 9y -f^{2}y-ին:

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Գումարեք -63 -8f-ին:

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Բաժանեք երկու կողմերը -f^{2}+9-ի:

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Փոխարինեք -\frac{63+8f}{9-f^{2}}-ը y-ով -9x+fy=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Բազմապատկեք f անգամ -\frac{63+8f}{9-f^{2}}:

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Գումարեք \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} հավասարման երկու կողմին:

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$