Լուծեք {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$cx+y=69$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$cx=-y+69$$

Բաժանեք երկու կողմերը c-ի:

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{c} անգամ -y+69:

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

Փոխարինեք \frac{69-y}{c}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+y=87:

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{69-y}{c}:

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

Գումարեք -\frac{2y}{c} y-ին:

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

Հանեք \frac{138}{c} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

Բաժանեք երկու կողմերը \frac{-2+c}{c}-ի:

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Փոխարինեք \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}-ը y-ով x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{c} անգամ \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}:

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

Գումարեք \frac{69}{c} -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}-ին:

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Հանեք 2x+y=87 cx+y=69-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$cx-2x+y-y=69-87$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$cx-2x=69-87$$

Գումարեք cx -2x-ին:

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

Գումարեք 69 -87-ին:

$$\left(c-2\right)x=-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը c-2-ի:

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Փոխարինեք -\frac{18}{c-2}-ը x-ով 2x+y=87-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{18}{c-2}:

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

Գումարեք \frac{36}{c-2} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$