Լուծեք {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$12bx-15y=-4$$

Գումարեք 15y հավասարման երկու կողմին:

$$12bx=15y-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12b-ի:

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{12b} անգամ 15y-4:

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

Փոխարինեք \frac{-4+15y}{12b}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 16x+10y=7:

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

Բազմապատկեք 16 անգամ \frac{-4+15y}{12b}:

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

Գումարեք \frac{20y}{b} 10y-ին:

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

Գումարեք \frac{16}{3b} հավասարման երկու կողմին:

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

Բաժանեք երկու կողմերը \frac{20}{b}+10-ի:

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Փոխարինեք \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}-ը y-ով x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{4b} անգամ \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}:

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Գումարեք -\frac{1}{3b} \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}-ին:

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

12bx-ը և 16x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 16-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 12b-ով:

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

Պարզեցնել:

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

Հանեք 192bx+120by=84b 192bx-240y=-64-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Գումարեք 192bx -192bx-ին: 192bx-ը և -192bx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Գումարեք -240y -120by-ին:

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

Գումարեք -64 -84b-ին:

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

Բաժանեք երկու կողմերը -240-120b-ի:

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Փոխարինեք \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}-ը y-ով 16x+10y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

Բազմապատկեք 10 անգամ \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}:

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

Հանեք \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} հավասարման երկու կողմից:

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$