Լուծեք {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$ax+by=c$$

Հանեք by հավասարման երկու կողմից:

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Բաժանեք երկու կողմերը a-ի:

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{a} անգամ -by+c:

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Փոխարինեք \frac{-by+c}{a}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ a^{2}x+b^{2}y=c:

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

Բազմապատկեք a^{2} անգամ \frac{-by+c}{a}:

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

Գումարեք -bay b^{2}y-ին:

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Հանեք ca հավասարման երկու կողմից:

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Բաժանեք երկու կողմերը b\left(b-a\right)-ի:

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Փոխարինեք \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}-ը y-ով x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Բազմապատկեք -\frac{b}{a} անգամ \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}:

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Գումարեք \frac{c}{a} -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a}-ին:

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax-ը և a^{2}x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները a^{2}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ a-ով:

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Պարզեցնել:

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Հանեք a^{3}x+ab^{2}y=ac a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Գումարեք a^{3}x -a^{3}x-ին: a^{3}x-ը և -a^{3}x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Գումարեք a^{2}by -ab^{2}y-ին:

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

Գումարեք a^{2}c -ac-ին:

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը ab\left(a-b\right)-ի:

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Փոխարինեք \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}-ը y-ով a^{2}x+b^{2}y=c-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

Բազմապատկեք b^{2} անգամ \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}:

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Հանեք \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} հավասարման երկու կողմից:

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Բաժանեք երկու կողմերը a^{2}-ի:

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$ax+by=c$$

Հանեք by հավասարման երկու կողմից:

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Բաժանեք երկու կողմերը a-ի:

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{a} անգամ -by+c:

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Փոխարինեք \frac{-by+c}{a}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ a^{2}x+b^{2}y=c:

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

Բազմապատկեք a^{2} անգամ \frac{-by+c}{a}:

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

Գումարեք -bay b^{2}y-ին:

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Հանեք ca հավասարման երկու կողմից:

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Բաժանեք երկու կողմերը b\left(-a+b\right)-ի:

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Փոխարինեք \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}-ը y-ով x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Բազմապատկեք -\frac{b}{a} անգամ \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}:

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Գումարեք \frac{c}{a} -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a}-ին:

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax-ը և a^{2}x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները a^{2}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ a-ով:

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Պարզեցնել:

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Հանեք a^{3}x+ab^{2}y=ac a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Գումարեք a^{3}x -a^{3}x-ին: a^{3}x-ը և -a^{3}x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Գումարեք a^{2}by -ab^{2}y-ին:

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

Գումարեք a^{2}c -ac-ին:

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը ab\left(a-b\right)-ի:

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Փոխարինեք \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}-ը y-ով a^{2}x+b^{2}y=c-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

Բազմապատկեք b^{2} անգամ \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}:

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Հանեք \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} հավասարման երկու կողմից:

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Բաժանեք երկու կողմերը a^{2}-ի:

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$