Լուծեք {l}{S+T=30}{10T=6S}

$$\left. \begin{array} { l } { S + T = 30 } \\ { 10 T = 6 S } \end{array} \right.$$

Լուծել S, T-ի համար

$$S = \frac{75}{4} = 18\frac{3}{4} = 18.75$$

$$T = \frac{45}{4} = 11\frac{1}{4} = 11.25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 6S երկու կողմերից:

$$10T-6S=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$S+T=30,-6S+10T=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն S-ի համար՝ առանձնացնելով S-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$S+T=30$$

Հանեք T հավասարման երկու կողմից:

$$S=-T+30$$

Փոխարինեք -T+30-ը S-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -6S+10T=0:

$$-6\left(-T+30\right)+10T=0$$

Բազմապատկեք -6 անգամ -T+30:

$$6T-180+10T=0$$

Գումարեք 6T 10T-ին:

$$16T-180=0$$

Գումարեք 180 հավասարման երկու կողմին:

$$16T=180$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$T=\frac{45}{4}$$

Փոխարինեք \frac{45}{4}-ը T-ով S=-T+30-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես S-ի համար:

$$S=-\frac{45}{4}+30$$

Գումարեք 30 -\frac{45}{4}-ին:

$$S=\frac{75}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$S=\frac{75}{4},T=\frac{45}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 6S երկու կողմերից:

$$10T-6S=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$S+T=30,-6S+10T=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}S\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\-6&10\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}S\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}S\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}S\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}S\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-\left(-6\right)}&-\frac{1}{10-\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{10-\left(-6\right)}&\frac{1}{10-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}S\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}S\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 30\\\frac{3}{8}\times 30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}S\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{4}\\\frac{45}{4}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի S և T տարրերը:

$$S=\frac{75}{4},T=\frac{45}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 6S երկու կողմերից:

$$10T-6S=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$S+T=30,-6S+10T=0$$

S-ը և -6S-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-6S-6T=-6\times 30,-6S+10T=0$$

Պարզեցնել:

$$-6S-6T=-180,-6S+10T=0$$

Հանեք -6S+10T=0 -6S-6T=-180-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-6S+6S-6T-10T=-180$$

Գումարեք -6S 6S-ին: -6S-ը և 6S-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6T-10T=-180$$

Գումարեք -6T -10T-ին:

$$-16T=-180$$

Բաժանեք երկու կողմերը -16-ի:

$$T=\frac{45}{4}$$

Փոխարինեք \frac{45}{4}-ը T-ով -6S+10T=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես S-ի համար:

$$-6S+10\times \frac{45}{4}=0$$

Բազմապատկեք 10 անգամ \frac{45}{4}:

$$-6S+\frac{225}{2}=0$$

Հանեք \frac{225}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-6S=-\frac{225}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$S=\frac{75}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$S=\frac{75}{4},T=\frac{45}{4}$$