Լուծեք {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$Ax+By=C$$

Հանեք By հավասարման երկու կողմից:

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

Բաժանեք երկու կողմերը A-ի:

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{A} անգամ -By+C:

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

Փոխարինեք \frac{-By+C}{A}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ Dx+Cy=F:

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

Բազմապատկեք D անգամ \frac{-By+C}{A}:

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Գումարեք -\frac{DBy}{A} Cy-ին:

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

Հանեք \frac{DC}{A} հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

Բաժանեք երկու կողմերը C-\frac{DB}{A}-ի:

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Փոխարինեք \frac{FA-DC}{CA-DB}-ը y-ով x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

Բազմապատկեք -\frac{B}{A} անգամ \frac{FA-DC}{CA-DB}:

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

Գումարեք \frac{C}{A} -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}-ին:

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax-ը և Dx-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները D-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ A-ով:

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

Պարզեցնել:

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

Հանեք ADx+ACy=AF ADx+BDy=CD-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Գումարեք DAx -DAx-ին: DAx-ը և -DAx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Գումարեք DBy -ACy-ին:

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

Բաժանեք երկու կողմերը DB-AC-ի:

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Փոխարինեք \frac{DC-AF}{DB-AC}-ը y-ով Dx+Cy=F-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

Բազմապատկեք C անգամ \frac{DC-AF}{DB-AC}:

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

Հանեք \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} հավասարման երկու կողմից:

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

Բաժանեք երկու կողմերը D-ի:

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$