Լուծեք {l}{9x-4y=7}{x-4y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 7 } \\ { x - 4 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9x-4y=7$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$9x=4y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ 4y+7:

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}$$

Փոխարինեք \frac{4y+7}{9}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-4y=-17:

$$\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}-4y=-17$$

Գումարեք \frac{4y}{9} -4y-ին:

$$-\frac{32}{9}y+\frac{7}{9}=-17$$

Հանեք \frac{7}{9} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{32}{9}y=-\frac{160}{9}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{32}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4}{9}\times 5+\frac{7}{9}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{9} անգամ 5:

$$x=\frac{20+7}{9}$$

Գումարեք \frac{7}{9} \frac{20}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-17\right)\\\frac{1}{32}\times 7-\frac{9}{32}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Հանեք x-4y=-17 9x-4y=7-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$9x-x-4y+4y=7+17$$

Գումարեք -4y 4y-ին: -4y-ը և 4y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9x-x=7+17$$

Գումարեք 9x -x-ին:

$$8x=7+17$$

Գումարեք 7 17-ին:

$$8x=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=3$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով x-4y=-17-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$3-4y=-17$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$-4y=-20$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=5$$