Լուծեք {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9x-3y-13=0$$

Գումարեք 13 հավասարման երկու կողմին:

$$9x-3y=13$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$9x=3y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ 3y+13:

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

Փոխարինեք \frac{y}{3}+\frac{13}{9}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+y-4=0:

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{y}{3}+\frac{13}{9}:

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

Գումարեք \frac{2y}{3} y-ին:

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

Գումարեք \frac{26}{9} -4-ին:

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

Գումարեք \frac{10}{9} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2}{3}-ը y-ով x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ \frac{2}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{2+13}{9}$$

Գումարեք \frac{13}{9} \frac{2}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{5}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

9x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 9-ով:

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Պարզեցնել:

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

Հանեք 18x+9y-36=0 18x-6y-26=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

Գումարեք 18x -18x-ին: 18x-ը և -18x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y-9y-26+36=0$$

Գումարեք -6y -9y-ին:

$$-15y-26+36=0$$

Գումարեք -26 36-ին:

$$-15y+10=0$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-15y=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2}{3}-ը y-ով 2x+y-4=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

Գումարեք \frac{2}{3} -4-ին:

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

Գումարեք \frac{10}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$2x=\frac{10}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{5}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$