Լուծեք {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9x+my+3=0$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$9x+my=-3$$

Հանեք my հավասարման երկու կողմից:

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ -my-3:

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ mx+4y+2=0:

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Բազմապատկեք m անգամ -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}:

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Գումարեք -\frac{m^{2}y}{9} 4y-ին:

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Հանեք -\frac{m}{3}+2 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -\frac{m^{2}}{9}+4-ի:

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{6+m}-ը y-ով x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{m}{9} անգամ -\frac{3}{6+m}:

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Գումարեք -\frac{1}{3} \frac{m}{3\left(6+m\right)}-ին:

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x-ը և mx-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները m-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 9-ով:

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Պարզեցնել:

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Հանեք 9mx+36y+18=0 9mx+m^{2}y+3m=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Գումարեք 9mx -9mx-ին: 9mx-ը և -9mx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Գումարեք m^{2}y -36y-ին:

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Հանեք -18+3m հավասարման երկու կողմից:

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Բաժանեք երկու կողմերը m^{2}-36-ի:

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{6+m}-ը y-ով mx+4y+2=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{3}{6+m}:

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Գումարեք -\frac{12}{6+m} 2-ին:

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Հանեք \frac{2m}{6+m} հավասարման երկու կողմից:

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Բաժանեք երկու կողմերը m-ի:

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9x+my+3=0$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$9x+my=-3$$

Հանեք my հավասարման երկու կողմից:

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ -my-3:

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ mx+4y+2=0:

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Բազմապատկեք m անգամ -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}:

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Գումարեք -\frac{m^{2}y}{9} 4y-ին:

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Հանեք -\frac{m}{3}+2 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -\frac{m^{2}}{9}+4-ի:

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{6+m}-ը y-ով x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{m}{9} անգամ -\frac{3}{6+m}:

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Գումարեք -\frac{1}{3} \frac{m}{3\left(6+m\right)}-ին:

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x-ը և mx-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները m-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 9-ով:

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Պարզեցնել:

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Հանեք 9mx+36y+18=0 9mx+m^{2}y+3m=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Գումարեք 9mx -9mx-ին: 9mx-ը և -9mx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Գումարեք m^{2}y -36y-ին:

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Հանեք -18+3m հավասարման երկու կողմից:

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Բաժանեք երկու կողմերը m^{2}-36-ի:

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{6+m}-ը y-ով mx+4y+2=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{3}{6+m}:

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Գումարեք -\frac{12}{6+m} 2-ին:

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Հանեք \frac{2m}{6+m} հավասարման երկու կողմից:

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Բաժանեք երկու կողմերը m-ի:

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$