Լուծեք {l}{9m+6n=123}{9m+5n=113}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m=7$$

$$n=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9m+6n=123$$

Հանեք 6n հավասարման երկու կողմից:

$$9m=-6n+123$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ -6n+123:

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2n+41}{3}-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9m+5n=113:

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{-2n+41}{3}:

$$-6n+123+5n=113$$

Գումարեք -6n 5n-ին:

$$-n+123=113$$

Հանեք 123 հավասարման երկու կողմից:

$$-n=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$n=10$$

Փոխարինեք 10-ը n-ով m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ 10:

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

Գումարեք \frac{41}{3} -\frac{20}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$m=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=7,n=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=7,n=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Հանեք 9m+5n=113 9m+6n=123-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

Գումարեք 9m -9m-ին: 9m-ը և -9m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6n-5n=123-113$$

Գումարեք 6n -5n-ին:

$$n=123-113$$

Գումարեք 123 -113-ին:

$$n=10$$

Փոխարինեք 10-ը n-ով 9m+5n=113-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$9m+5\times 10=113$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 10:

$$9m+50=113$$

Հանեք 50 հավասարման երկու կողմից:

$$9m=63$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$m=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=7,n=10$$