Լուծեք {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$80x+160y=4$$

Հանեք 160y հավասարման երկու կողմից:

$$80x=-160y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 80-ի:

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{80} անգամ -160y+4:

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Փոխարինեք -2y+\frac{1}{20}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+3y=0.1:

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

Գումարեք -2y 3y-ին:

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

Հանեք \frac{1}{20} հավասարման երկու կողմից:

$$y=\frac{1}{20}$$

Փոխարինեք \frac{1}{20}-ը y-ով x=-2y+\frac{1}{20}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{1}{20}:

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

Գումարեք \frac{1}{20} -\frac{1}{10}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{1}{20}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

80x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 80-ով:

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

Պարզեցնել:

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

Հանեք 80x+240y=8 80x+160y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

Գումարեք 80x -80x-ին: 80x-ը և -80x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$160y-240y=4-8$$

Գումարեք 160y -240y-ին:

$$-80y=4-8$$

Գումարեք 4 -8-ին:

$$-80y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -80-ի:

$$y=\frac{1}{20}$$

Փոխարինեք \frac{1}{20}-ը y-ով x+3y=0.1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{1}{20}:

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

Հանեք \frac{3}{20} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{1}{20}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$