Լուծեք {l}{8x-9y=10}{-5x-3y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 10 } \\ { - 5 x - 3 y = 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$8x-9y=10,-5x-3y=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$8x-9y=10$$

Գումարեք 9y հավասարման երկու կողմին:

$$8x=9y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{8} անգամ 9y+10:

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք \frac{9y}{8}+\frac{5}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x-3y=11:

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=11$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{9y}{8}+\frac{5}{4}:

$$-\frac{45}{8}y-\frac{25}{4}-3y=11$$

Գումարեք -\frac{45y}{8} -3y-ին:

$$-\frac{69}{8}y-\frac{25}{4}=11$$

Գումարեք \frac{25}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{69}{8}y=\frac{69}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{69}{8}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{9}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք \frac{9}{8} անգամ -2:

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

Գումարեք \frac{5}{4} -\frac{9}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$8x-9y=10,-5x-3y=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{5}{69}&-\frac{8}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 10-\frac{3}{23}\times 11\\-\frac{5}{69}\times 10-\frac{8}{69}\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$8x-9y=10,-5x-3y=11$$

8x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 8-ով:

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 10,8\left(-5\right)x+8\left(-3\right)y=8\times 11$$

Պարզեցնել:

$$-40x+45y=-50,-40x-24y=88$$

Հանեք -40x-24y=88 -40x+45y=-50-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-40x+40x+45y+24y=-50-88$$

Գումարեք -40x 40x-ին: -40x-ը և 40x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$45y+24y=-50-88$$

Գումարեք 45y 24y-ին:

$$69y=-50-88$$

Գումարեք -50 -88-ին:

$$69y=-138$$

Բաժանեք երկու կողմերը 69-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով -5x-3y=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x-3\left(-2\right)=11$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -2:

$$-5x+6=11$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-5x=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-2$$