Լուծեք {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 3-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$8x-5y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Բաժանեք -10 5-ի և ստացեք -2:

$$y-3x=-2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$8x-5y=3$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$8x=5y+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{8} անգամ 5y+3:

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

Փոխարինեք \frac{5y+3}{8}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3x+y=-2:

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{5y+3}{8}:

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

Գումարեք -\frac{15y}{8} y-ին:

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

Գումարեք \frac{9}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{8}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5+3}{8}$$

Գումարեք \frac{3}{8} \frac{5}{8}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 3-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$8x-5y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Բաժանեք -10 5-ի և ստացեք -2:

$$y-3x=-2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 3-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$8x-5y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Բաժանեք -10 5-ի և ստացեք -2:

$$y-3x=-2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

8x-ը և -3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 8-ով:

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

Պարզեցնել:

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

Հանեք -24x+8y=-16 -24x+15y=-9-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

Գումարեք -24x 24x-ին: -24x-ը և 24x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-8y=-9+16$$

Գումարեք 15y -8y-ին:

$$7y=-9+16$$

Գումարեք -9 16-ին:

$$7y=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով -3x+y=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3x+1=-2$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$