Լուծեք {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$8x-5y=10$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$8x=5y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{8} անգամ 10+5y:

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-4y=11:

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}:

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

Գումարեք \frac{15y}{4} -4y-ին:

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

Հանեք \frac{15}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -4-ով:

$$y=-14$$

Փոխարինեք -14-ը y-ով x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{8} անգամ -14:

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

Գումարեք \frac{5}{4} -\frac{35}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{15}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

8x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 8-ով:

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

Պարզեցնել:

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

Հանեք 48x-32y=88 48x-30y=60-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

Գումարեք 48x -48x-ին: 48x-ը և -48x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-30y+32y=60-88$$

Գումարեք -30y 32y-ին:

$$2y=60-88$$

Գումարեք 60 -88-ին:

$$2y=-28$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-14$$

Փոխարինեք -14-ը y-ով 6x-4y=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -14:

$$6x+56=11$$

Հանեք 56 հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-\frac{15}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$