Լուծեք {l}{8x+7y=1}{5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 1 } \\ { 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$8x+7y=1$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$8x=-7y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{8} անգամ -7y+1:

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}$$

Փոխարինեք \frac{-7y+1}{8}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+6y=1:

$$5\left(-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}\right)+6y=1$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-7y+1}{8}:

$$-\frac{35}{8}y+\frac{5}{8}+6y=1$$

Գումարեք -\frac{35y}{8} 6y-ին:

$$\frac{13}{8}y+\frac{5}{8}=1$$

Հանեք \frac{5}{8} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{13}{8}y=\frac{3}{8}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{13}{8}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{3}{13}$$

Փոխարինեք \frac{3}{13}-ը y-ով x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{3}{13}+\frac{1}{8}$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{8} անգամ \frac{3}{13}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{21}{104}+\frac{1}{8}$$

Գումարեք \frac{1}{8} -\frac{21}{104}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{1}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{8\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{8\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{8\times 6-7\times 5}&\frac{8}{8\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{8}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-7}{13}\\\frac{-5+8}{13}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

8x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 8-ով:

$$5\times 8x+5\times 7y=5,8\times 5x+8\times 6y=8$$

Պարզեցնել:

$$40x+35y=5,40x+48y=8$$

Հանեք 40x+48y=8 40x+35y=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$40x-40x+35y-48y=5-8$$

Գումարեք 40x -40x-ին: 40x-ը և -40x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$35y-48y=5-8$$

Գումարեք 35y -48y-ին:

$$-13y=5-8$$

Գումարեք 5 -8-ին:

$$-13y=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$y=\frac{3}{13}$$

Փոխարինեք \frac{3}{13}-ը y-ով 5x+6y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+6\times \frac{3}{13}=1$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{3}{13}:

$$5x+\frac{18}{13}=1$$

Հանեք \frac{18}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-\frac{5}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-\frac{1}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$